직사각형 부채꼴 급수

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} D _{1}}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}} = 1$인 직사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$에서 선분 $\mathrm{A} _{1} D _{1}$의 중점을 $\mathrm{M} _{1}$이라 하자. 중심이 $\mathrm{A} _{1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}}$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$을 그리고, 부채꼴 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 부채꼴 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$의 호 $\mathrm{B} _{1} M _{1}$이 선분 $\mathrm{A} _{1} C _{1}$과 만나는 점을 $\mathrm{A} _{2}$라 하고, 중심이 $\mathrm{A} _{1}$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} D _{1}}}$인 원이 선분 $\mathrm{A} _{1} C _{1}$과 만나는 점을 $\mathrm{C} _{2}$라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가 $2 : 1$이고 가로가 선분 $\mathrm{A} _{1} D _{1}$과 평행한 직사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$를 그리고, 직사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$에서 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{5}{16} \pi$②$\displaystyle \frac{11}{32} \pi$③$\displaystyle \frac{3}{8} \pi$④$\displaystyle \frac{13}{32} \pi$⑤$\displaystyle \frac{7}{16} \pi$