대수삼각함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직사각형 안의 두 각의 합

문제

그림과 같이 AB‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{2}, AD‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \mathit{3}인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 변 BC\mathrm{BC} 위의 점 P\mathrm{P}와 변 CD\mathrm{CD} 위의 점 Q\mathrm{Q}가 BP‾=DQ‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{DQ}} = \mathit{1}을 만족시킨다. ∠BAP=α\angle \mathrm{BAP} = \alpha, ∠DAQ=β\angle \mathrm{DAQ} = \beta라 할 때, α+β=kπ\alpha + \beta = k \pi이다. 상수 kk의 값을 구하시오. [4점]

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해설

선분 PQ\mathrm{PQ}를 그으면 PC‾=3−1=2=AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = \mathit{3} - 1 = 2 = \overline{\mathrm{AB}}, CQ‾=2−1=1=BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}} = \mathit{2} - 1 = 1 = \overline{\mathrm{BP}}, ∠ABP=∠PCQ=π2\displaystyle \angle \mathrm{ABP} = \angle \mathrm{PCQ} = \frac{\pi}{2}이므로 두 삼각형 ABP\mathrm{ABP}, PCQ\mathrm{PCQ}는 합동이다. 따라서 AP‾=PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{PQ}}이고 ∠CPQ=∠BAP=α\angle \mathrm{CPQ} = \angle \mathrm{BAP} = \alpha ∠APB+∠BAP=π2\displaystyle \angle \mathrm{APB} + \angle \mathrm{BAP} = \frac{\pi}{2}이므로 ∠APQ=π−∠APB−∠CPQ=π−(∠APB+α)=π2\displaystyle \angle \mathrm{APQ} = \pi - \angle \mathrm{APB} - \angle \mathrm{CPQ} = \pi - \left( \angle \mathrm{APB} + \alpha \right) = \frac{\pi}{2} 삼각형 APQ\mathrm{APQ}는 AP‾=PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{PQ}}인 직각이등변삼각형이므로 ∠PAQ=π4\displaystyle \angle \mathrm{PAQ} = \frac{\pi}{4} α+β=∠BAD−∠PAQ=π2−π4=π4\displaystyle \alpha + \beta = \angle \mathrm{BAD} - \angle \mathrm{PAQ} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} 따라서 k=14\displaystyle k = \frac{1}{4}

태그

#각의 크기#합동#직각이등변삼각형#직사각형

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