직각삼각형과 네 접원

[출제의도] 원의 성질과 여러 가지 방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$, 세 변 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$의 길이를 각각 $c$, $a$, $b$라 하자. $\displaystyle S = \frac{1}{2} r _{1} \left( a + b + c \right)$이고, $\displaystyle S = \frac{15}{2} , r _{1} = 1$이므로 $a + b + c = 15$ 한편, 세 꼭짓점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에서 원 $O _{1}$에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로 $c = \left( a - r _{1} \right) + \left( b - r _{1} \right)$, $\displaystyle r _{1} = \frac{a + b - c}{2}$

$b - r _{1}$ $b - r _{1}$ $a - r _{1}$ $a - r _{1}$

점 $\mathrm{A}$에서 원 $O _{\mathit{2}}$에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로 $b + r _{2} = c + \left( a - r _{2} \right)$, $\displaystyle r _{2} = \frac{a - b + c}{2}$

$a - r _{2}$

점 $\mathrm{B}$에서 원 $O _{\mathit{3}}$에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로 $a + r _{3} = c + ( b - r _{3} )$, $\displaystyle r _{3} = \frac{- a + b + c}{2}$ 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 원 $O _{4}$에 그은 두 접선의 접점까지의 길이가 같으므로 $\left( r _{4} - a \right) + \left( r _{4} - b \right) = c$, $\displaystyle r _{4} = \frac{a + b + c}{2}$ $r _{1} + r _{2} + r _{3} + r _{4} = a + b + c = 15$ 따라서 $r _{2} + r _{3} + r _{4} = 14$