직각삼각형 탄젠트

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기 선분 $\mathrm{AC}$의 길이를 $a$라 하자. 점 $\mathrm{A}$가 원점, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$를 $x$축 위에 오도록 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$를 좌표평면 위에 놓으면 $\mathrm{B} \left( 2 , 0 \right)$, $\mathrm{C} ( 0 , \mathit{a} )$이다. 세 점 $\displaystyle \mathrm{P} _{1} \mathit{\left( \frac{5}{3} , \frac{a}{6} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{P} _{2} \mathit{\left( \frac{4}{3} , \frac{a}{3} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{P} _{5} \mathit{\left( \frac{1}{3} , \frac{5 a}{6} \right)}$ $\mathrm{\angle} BAP _{1} = \theta _{1}$, $\mathrm{\angle} BAP _{2} = \theta _{2}$라 하면 $\displaystyle \tan \theta _{1} = \frac{a}{10}$, $\displaystyle \tan \theta _{2} = \frac{a}{4}$이므로 $\tan \alpha = \tan \left( \theta _{2} - \theta _{1} \right)$$\displaystyle = \frac{6 a}{40 + a ^{2}}$ $\displaystyle \tan \beta = \frac{2}{5 \mathit{a}}$ $2 \tan \alpha = 3 \tan \beta$에서 $\displaystyle \frac{12 a}{40 + a ^{2}} = \frac{6}{5 a}$이므로 $\displaystyle a ^{2} = \frac{40}{9}$, $\displaystyle a = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2 \sqrt{10}}{3}$ 따라서 $9 S ^{2} = 40$