직각삼각형 넓이비

두 삼각형 ${\mathrm{EAD}}$, ${\mathrm{CED}}$의 밑변을 각각 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{EC}}}$라 할 때, 두 삼각형 ${\mathrm{EAD}}$, ${\mathrm{CED}}$의 높이가 서로 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} : {\overline{\mathrm{EC}}} = \triangle {\mathrm{EAD}} : \triangle {\mathrm{CED}} = 4 : 1$ $\displaystyle 4 \times {\overline{\mathrm{EC}}} = {\overline{\mathrm{AE}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{AE}}} + {\overline{\mathrm{EC}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$\displaystyle = 4 \times {\overline{\mathrm{EC}}} + {\overline{\mathrm{EC}}}$$\displaystyle = 5 \times {\overline{\mathrm{EC}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{BD}}}$인 직각이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{BDC}} = 45 ^\circ$, $\angle {\mathrm{CDA}} = 135 ^\circ$ 삼각형 ${\mathrm{BCE}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{BE}}}$인 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{ECB}} = \angle {\mathrm{BEC}}$ 삼각형 ${\mathrm{BED}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = {\overline{\mathrm{BD}}}$인 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{BDE}} = \angle {\mathrm{DEB}}$ 사각형 ${\mathrm{BCED}}$의 내각의 크기의 합은 $360 ^\circ$이므로 $360 ^{\circ}$$= \angle {\mathrm{CBD}} + \angle {\mathrm{BDE}} + \angle {\mathrm{DEC}} + \angle {\mathrm{ECB}}$ $= \angle {\mathrm{CBD}} + \angle {\mathrm{BDE}} + \left( \angle {\mathrm{DEB}} + \angle {\mathrm{BEC}} \right) + \angle {\mathrm{ECB}}$ $= 90 ^\circ + 2 \times \left( \angle {\mathrm{DEB}} + \angle {\mathrm{BEC}} \right)$ $= 90 ^\circ + 2 \angle {\mathrm{DEC}}$ $\angle {\mathrm{DEC}} = 135 ^\circ$ 두 삼각형 ${\mathrm{ADC}}$, ${\mathrm{DEC}}$에서 $\angle {\mathrm{ACD}}$가 공통이고 $\angle {\mathrm{CDA}} = \angle {\mathrm{CED}} = 135 ^\circ$이므로 두 삼각형 ${\mathrm{ADC}}$, ${\mathrm{DEC}}$는 서로 닮은 도형이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = {\overline{\mathrm{DC}}} : {\overline{\mathrm{EC}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} \times {\overline{\mathrm{EC}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = x$라 하면 삼각형 ${\mathrm{DBC}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} = x ^{2} + x ^{2} = 2 x ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = \sqrt{2} x$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} \times {\overline{\mathrm{EC}}}$ $\displaystyle \left( \sqrt{2} x \right) ^{2} = \left( 5 \times {\overline{\mathrm{EC}}} \right) \times {\overline{\mathrm{EC}}}$ $\displaystyle 2 x ^{2} = 5 \times {\overline{\mathrm{EC}}} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{EC}}} = \frac{\sqrt{10}}{5} x$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{10} x$ 직각삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} = \left( \sqrt{10} x \right) ^{2} - x ^{2} = 9 x ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} - {\overline{\mathrm{BD}}} = 3 x - x = 2 x$ $\triangle {\mathrm{ADC}} = \triangle {\mathrm{EAD}} + \triangle {\mathrm{CED}} = 16 + 4 = 20$이고 $\displaystyle \triangle {\mathrm{ADC}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{1}{2} \times 2 x \times x = x ^{2}$ 이므로 $x ^{2} = 20$, $\displaystyle x = 2 \sqrt{5} \left( x > 0 \right)$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{CEB}}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} + {\overline{\mathrm{EB}}} + {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{5} x + x + x$ $\displaystyle = 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{5}$