직각삼각형 넓이 합 극한

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

$- 2 ^{n}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $2 ^{n} - 1$

조건 (가)에 의하여 $b = 2$, $a \ne 0$ 조건 (나)에 의하여 $a$는 $- 2 ^{n} \leq a \leq - 1$, $1 \leq a \leq 2 ^{n}$인 정수 (i) $1 \leq a \leq 2 ^{n}$인 경우 모든 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 합은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 2 ^{n} - 2 ) \times \left\{ 1 + 2 + 3 + \cdots + ( 2 ^{n} - 1 ) + 2 ^{n} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( 2 ^{n} - 2 ) \times \frac{2 ^{n} ( 1 + 2 ^{n} )}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} ( 8 ^{n} - 4 ^{n} - 2 ^{n + 1} )$ (ii) $- 2 ^{n} \leq a \leq - 1$인 경우 모든 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 합은 (i)과 같다. (i), (ii)에 의하여 $\displaystyle S _{n} = 2 \times \frac{1}{4} ( 8 ^{n} - 4 ^{n} - 2 ^{n + 1} )$$\displaystyle = \frac{1}{2} ( 8 ^{n} - 4 ^{n} - 2 ^{n + 1} )$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{8 ^{n - 2}} = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{8 ^{n} - 4 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{8 ^{n - 2}}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 - \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{2}{4 ^{n}}}{{\frac{1}{64}}}} = 32$