직각삼각형 닮음

[출제의도] 피타고라스 정리와 삼각비를 이용하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다.

삼각형 $\mathrm{A} BC$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} C}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{A} B}} ^{2} - {\overline{\mathrm{A} C}} ^{2}$$= {( 3 a ) ^{2} - ( 2 a ) ^{2}}$$= 5 a ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B} C}$$\displaystyle = \sqrt{5} a$ $\mathrm{\angle} ABC = \mathit{x} ^\circ$라 하면 삼각형 $\mathrm{A} BC$에서 $\cos \mathit{x} ^\circ$$\displaystyle = \frac{\overline{\mathrm{B} C}}{\overline{\mathrm{A} B}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5} a}{3 a}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{3}$ $\angle \mathrm{A} BC + \angle \mathrm{B} AC$$= \angle \mathrm{A} CD + \angle \mathrm{C} AD$$= 90 ^\circ$ 이고 $\angle \mathrm{B} AC = \angle \mathrm{C} AD$이므로 $\angle \mathrm{A} CD = \angle \mathrm{A} BC = \mathit{x} ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{A} DC$에서 $\displaystyle \cos \mathit{x} ^\circ = \frac{\overline{\mathrm{C} D}}{\overline{\mathrm{A} C}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} D}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{A} C}} \times \mathrm{c} os \mathit{x} ^\circ$$= 2 a \cos \mathit{x} ^\circ$$\displaystyle = 2 \mathit{a} \times \frac{\sqrt{5}}{3}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{5}}{3} a$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} C} \parallel \overline{\mathrm{D} E}$이므로 엇각의 성질에 의해 $\angle \mathrm{C} DE = \angle \mathrm{D} CA = \mathit{x} ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{C} DE$에서 $\displaystyle \cos \mathit{x} ^\circ = \frac{\overline{\mathrm{D} E}}{\overline{\mathrm{C} D}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} E$$\displaystyle = \overline{\mathrm{C}} D \times \cos \mathit{x} ^\circ$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{5}}{3} a \times \frac{\sqrt{5}}{3}$$\displaystyle = \frac{10}{9} a$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} E$$\displaystyle = \frac{10}{9} a$가 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값 중 가장 작은 수는 $9$ [다른 풀이] 위의 풀이에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} C}$$\displaystyle = \sqrt{5} a$ 삼각형 $\mathrm{A} BC$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{B} C} \times \overline{\mathrm{A} C} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{A} B} \times \overline{\mathrm{C} D}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{5} a \times 2 a = \frac{1}{2} \times 3 a \times \overline{\mathrm{C} D}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} D}}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{5}}{3} a$ 삼각형 $\mathrm{A} DC$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2}$$\displaystyle = ( 2 a ) ^{2} - \left( \frac{2 \sqrt{5}}{3} a \right) ^{2}$$=$$\displaystyle \frac{16}{9} a ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} D}$$\displaystyle = \frac{4}{3} a$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B} D}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A} B} - \overline{\mathrm{A} D}$$\displaystyle = 3 a - \frac{4}{3} a$$\displaystyle = \frac{5}{3} a$ 삼각형 $\mathrm{B} DC$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{B} D} \times \overline{\mathrm{C} D} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{B} C} \times \overline{\mathrm{D} E}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} a \times \frac{2 \sqrt{5}}{3} a = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} a \times \overline{\mathrm{D} E}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} E$$\displaystyle = \frac{10}{9} a$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} E$$\displaystyle = \frac{10}{9} a$가 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값 중 가장 작은 수는 $9$ [다른 풀이] 두 삼각형 $\mathrm{A} BC$와 $\mathrm{A} CD$에서 $\angle \mathrm{B} AC = \angle CAD$이고 $\angle \mathrm{A} CB = \angle ADC = 90 ^\circ$이므로 $\mathrm{\triangle} ABC \backsim \triangle ACD$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} B} : \overline{\mathrm{A} C}$$= 3 a : 2 a$$= 3 : 2$이고 두 삼각형 $\mathrm{A} BC$와 $\mathrm{A} CD$는 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} C} : \overline{\mathrm{C} D}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A} B} : \overline{\mathrm{A} C}$$= 3 : 2$ 위의 풀이에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} C}$$\displaystyle = \sqrt{5} a$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} D}$$\displaystyle = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{B} C}$$\displaystyle = \frac{2}{3} \times \sqrt{5} a$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{5}}{3} a$ 두 삼각형 $\mathrm{A} CD$와 $\mathrm{C} DE$에서 $\angle \mathrm{A} CD = \angle CDE$이고 $\angle \mathrm{A} DC = \angle \mathrm{C} ED = 90 ^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{A} CD \backsim \triangle \mathrm{C} DE$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} C} : \overline{\mathrm{C} D}$$\displaystyle = 2 a : \frac{2 \sqrt{5}}{3} a$$\displaystyle = 3 : \sqrt{5}$이고 두 삼각형 $\mathrm{A} CD$와 $\mathrm{C} DE$는 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} D} : \overline{\mathrm{D} E}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A} C} : \overline{\mathrm{C} D}$$\displaystyle = 3 : \sqrt{5}$ 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{D} E} = \frac{\sqrt{5}}{3} \overline{\mathrm{C} D}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2 \sqrt{5}}{3} a$$\displaystyle = \frac{10}{9} a$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} E$$\displaystyle = \frac{10}{9} a$가 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값 중 가장 작은 수는 $9$