대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

증폭기 데시벨 합

문제

음성 신호를 크게 하는 장치를 증폭기라고 한다. 전압 이득이 VV인 증폭기의 데시벨 전압 이득 DD는 D=20log⁡VD = 20 \log V 라고 한다. 전압 이득이 Vk(k=1,2,⋯ ,9)V _{k} ( k = 1 , 2 , \cdots , 9 )인 증폭기의 데시벨 전압 이득 Dk(k=1,2,⋯ ,9)D _{k} ( k = 1 , 2 , \cdots , 9 )는 Dk=20log⁡VkD _{k} = 20 \log V _{k}(k=1,2,⋯ ,9)( k = 1 , 2 , \cdots , 9 ) 이다. 증폭기의 전압 이득 VkV _{k}가 Vk=k+1k(k=1,2,⋯ ,9)\displaystyle V _{k} = \frac{k + 1}{k} ( k = 1 , 2 , \cdots , 9 ) 인 99개의 증폭기를 연결하여 얻은 전체 데시벨 전압 이득 S9S _{9}가 S9=∑k=19Dk\displaystyle S _{9} = \sum\limits _{k = 1} ^{^{9}} {D _{k}} 라 할 때, S9S _{9}의 값을 구하시오. [4점]

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20

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해설

S9=∑k=19Dk\displaystyle S _{9} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{9_{D_{k}}}=∑k=1920log⁡Vk\displaystyle = \sum\limits _{{k} = 1} ^{9_{20}} \log V _{k} =∑k=1920log⁡k+1k\displaystyle = \sum\limits _{{k} = 1} ^{9} 20 \log \frac{k + 1}{k} =20{log⁡21+log⁡32+⋯+log⁡109}\displaystyle = 20 \left\{ \log \frac{2}{1} + \log \frac{3}{2} + \cdots + \log \frac{10}{9} \right\} =20log⁡(21×32×43×⋯×109)\displaystyle = 20 \log \left( \frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \cdots \times \frac{10}{9} \right) =20= 20

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#상용로그#시그마#활용

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