대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

증기압력 로그 모델 보기

문제

액체의 끓는 온도 TT(∘C{}^\circ \mathrm{C})와 증기압력 PP(mmHg\mathrm{mmHg}) 사이에 log⁡P=a+bc+T\displaystyle \log P = a + \frac{b}{c + T} (a,b,ca , b , c는 상수이고 T>−cT > - c) 인 관계가 성립한다. 표는 어떤 액체의 끓는 온도에 대한 증기압력을 나타낸 것이다.

끓는 온도(∘C{}^\circ \mathrm{C})00551010
증기압력(mmHg\mathrm{m} mHg)4.84.86.66.68.88.8

이 표를 이용하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, log⁡2=0.301\log 2 = 0.301로 계산한다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. 0.602<a+bc<0.699\displaystyle 0.602 < a + \frac{b}{c} < 0.699 ㄴ. b<0b < 0 ㄷ. P<10aP < 10 ^{a}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. T=0T = 0일 때 P=4.8P = 4.8이므로 a+bc=log⁡4.8\displaystyle a + \frac{b}{c} = \log 4.8이다. 그런데 log⁡4<log⁡4.8<log⁡5\log 4 < \log 4.8 < \log 5에서 2log⁡2<log⁡4.8<1−log⁡22 \log 2 < \log 4.8 < 1 - \log 2이므로 0.602<a+bc<0.699\displaystyle 0.602 < a + \frac{b}{c} < 0.699 (참) ㄴ. y=log⁡Py = \log P라 하면 y=a+bc+T\displaystyle y = a + \frac{b}{c + T}의 그래프는 점근선이 T=−cT = - c, y=ay = a이다. 그런데 주어진 표를 이용하면 TT의 값이 증가할 때 yy의 값도 증가하므로 분수함수의 그래프는 그림과 같아야 한다. ∴ b<0b < 0 (참)

ㄷ. ㄴ의 y=a+bc+T\displaystyle y = a + \frac{b}{c + T}의 그래프에서 T>−cT > - c인 모든 실수 TT에 대하여 y<ay < a이다. ∴ log⁡P<a\log P < a 따라서 P<10aP < 10 ^{a}이다. (참)

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