증가함수와 합성 조건

구하고자 하는 함수의 개수를 치역에 따라 분류하면 (ⅰ) 치역이 $\left\{ 1 \right\}$인 경우 조건을 성립하며 경우의 수는 $1$가지이다. (ⅱ) 치역이 $\left\{ 1 , 2 \right\}$인 경우 (가)조건에 의해 $f \left( 1 \right) = 1$이고 (1) $f \left( 2 \right) = 1$일 때 $x = 2$인 경우 $f \left( f \left( f \left( 2 \right) \right) \right)$$= f \left( f \left( 1 \right) \right)$$= f \left( 1 \right)$$= 1$ 이고 $x \geq 3$인 경우도 $f \left( f \left( f \left( x \right) \right) \right)$는 $f \left( f \left( 1 \right) \right)$$= 1$ 또는 $f \left( f \left( 2 \right) \right)$$= 1$ 이므로 주어진 조건을 만족한다. $3$이상의 정의역이 $1 , 2$에 대응하는 개수를 각각 $x _{1} , x _{2}$라 하면 $x _{1} + x _{2} = 6$ ($x _{1} \geq 0$, $x _{2} \geq 1$인 정수) 이므로 ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{_{6 - 1}}$$= _{6} {\mathrm{C}} _{5}$$= 6$가지이다. (2) $f \left( 2 \right) = 2$일 때 $f \left( f \left( f \left( 2 \right) \right) \right)$$= 2$이므로 모순 (ⅲ) 치역이 $\left\{ 1 , 3 \right\}$인 경우 (1) $f \left( 2 \right) = 1$, $f \left( 3 \right) = 1$인 경우 $f \left( f \left( f \left( x \right) \right) \right)$는 $f \left( f \left( 1 \right) \right) = 1$ 또는 $f \left( f \left( 3 \right) \right) = 1$이므로 성립 $4$이상의 정의역이 $1 , 3$에 대응하는 개수를 각각 $x _{1} , x _{2}$라 하면 $x _{1} + x _{2} = 5$ ($x _{1} \geq 0$, $x _{2} \geq 1$인 정수) 이므로 ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{5 - 1}}}$$= _{5} {\mathrm{C}} _{4}$$= 5$가지이다. (2) $f \left( 2 \right) = 1$, $f \left( 3 \right) = 3$인 경우 $f \left( f \left( f \left( 3 \right) \right) \right)$$= 3$이므로 모순 (3) $f \left( 2 \right) = 3$인 경우 (가)에 의해 $f \left( 3 \right) GEf \left( 2 \right) = 3$ 즉, $f \left( 3 \right) = 3$이므로 $f \left( f \left( f \left( 2 \right) \right) \right) = 3$이므로 모순 (ⅳ) 치역이 $\left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$인 경우 $3$이상의 정의역이 $1 , 2 , 3$에 각각 대응하는 개수를 $x _{1} , x _{2} , x _{3}$라 하면 $x _{1} + x _{2} + x _{3} = 6$ ($x _{1} \geq 0$, $x _{2} \geq 1$, $x _{3} \geq 1$인 정수) 이므로 ${} _{3} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{6 - 2}}}$$= _{6} {\mathrm{C}} _{4}$$= 15$가지이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 모든 함수 $f : X \rightarrow Y$의 개수는 $1 + 6 + 5 + 15$$= 27$가지