증가함수의 개수

[출제의도] 중복조합을 이용하여 함수의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)를 만족시키는 함수 $f$의 개수는 ${} _{5} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{5}}}$$= _{5 + 5 - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{5}}}$$= _{9} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{5}}}$$= 126$ 조건 (나)의 부정은 $f ( 2 ) = 1$ 또는 $f ( 4 ) \times f ( 5 ) \geq 20$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이다. (ⅰ) $f ( 2 ) = 1$인 경우 $f ( 1 ) = 1$이고 $1 \leq f ( 3 ) \leq f ( 4 ) \leq f ( 5 ) \leq 5$이므로 $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{3}}}$$= _{5 + 3 - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}$$= _{7} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}$$= 35$ (ⅱ) $f ( 4 ) \times f ( 5 ) \geq 20$인 경우 $f ( 4 ) = 4$, $f ( 5 ) = 5$일 때 $1 \leq f ( 1 ) \leq f ( 2 ) \leq f ( 3 ) \leq 4$이므로 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$의 값을 정하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{H} _{3}$$= _{4 + 3 - 1} \mathrm{C} _{3}$$= _{6} \mathrm{C} _{3}$$= 20$ $f ( 4 ) = 5$, $f ( 5 ) = 5$일 때 $1 \leq f ( 1 ) \leq f ( 2 ) \leq f ( 3 ) \leq 5$이므로 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$의 값을 정하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{H} _{3}$$= _{5 + 3 - 1} \mathrm{C} _{3}$$= _{7} \mathrm{C} _{3}$$= 35$ 그러므로 이 경우 구하는 함수 $f$의 개수는 $20 + 35 = 55$ (ⅲ) $f ( 2 ) = 1$이고 $f ( 4 ) \times f ( 5 ) \geq 20$인 경우 $f ( 1 ) = 1$이고 $f ( 4 ) = 4$, $f ( 5 ) = 5$일 때 $1 \leq f ( 3 ) \leq 4$에서 $f ( 3 )$의 값을 정하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{1} = 4$ $f ( 1 ) = 1$이고 $f ( 4 ) = 5$, $f ( 5 ) = 5$일 때 $1 \leq f ( 3 ) \leq 5$에서 $f ( 3 )$의 값을 정하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{C} _{1} = 5$ 그러므로 이 경우 구하는 함수 $f$의 개수는 $4 + 5 = 9$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 ㉠을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $35 + 55 - 9 = 81$ 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $126 - 81$$= 45$