미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

증가함수 성질 보기

문제

0≤x≤10 \leq x \leq 1에서 정의된 다항함수 f(x)f ( x )가 다음 두 조건을 만족한다.

Ⅰ. 1<f(x)<21 < f ( x ) < 2 Ⅱ. x1<x2x _{1} < x _{2}이면 f(x1)<f(x2)f ( x _{1} ) < f ( x _{2} )

이 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. 0<x<10 < x < 1인 임의의 실수 xx에 대하여 f′(x)≥0f' ( x ) \geq 0이다. ㄴ. 방정식 f(x)−2x=0f ( x ) - 2 x = 0의 해가 개구간 (0,1)( 0 , 1 )에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. ∑k=0n−1f(kn)1n<∫01f(x)dx<∑k=1nf(kn)1n\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n - 1} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} < \int _{0} ^{1} {f ( x )} dx < \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. 증가함수 (참) ㄴ. g(x)=f(x)−2xg ( x ) = f ( x ) - 2 x라 하면 g(x)g ( x )는 연속함수 g(0)=f(0)>0g ( 0 ) = f ( 0 ) > 0 g(1)=f(1)−2<0g ( 1 ) = f ( 1 ) - 2 < 0이므로 중간값의 정리에 의해 해가 적어도 한 개 존재한다. (참) ㄷ. 증가함수 (참)

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#증가함수#중간값정리

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