미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

증가함수 조건

문제

함수 f(x)=12x2−3x−kx\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} - 3 x - \frac{k}{x}가 열린 구간 (0,∞)( 0 , \infty )에서 증가할 때, 실수 kk의 최솟값은? [4점] ①33②72\displaystyle \frac{7}{2}③44④92\displaystyle \frac{9}{2}⑤55

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③

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해설

[출제의도] 미분법을 활용하여 함수의 성질 이해하기 함수 f(x)f ( x )가 열린 구간 (0,∞)( 0 , \infty )에서 증가해야 하므로 f′(x)=x−3+kx2≥0\displaystyle f' ( x ) = x - 3 + \frac{k}{x ^{2}} \geq 0 x2>0x ^{2} > 0이므로 양변에 x2x ^{2}을 곱하면 k≥−x3+3x2k \geq - x ^{3} + 3 x ^{2} 함수 g(x)=−x3+3x2g ( x ) = - x ^{3} + 3 x ^{2}이라 하면 열린 구간 (0,∞)( 0 , \infty )에서 함수 g(x)g ( x )는 x=2x = 2에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 44이다. 따라서 k≥4k \geq 4이므로 만족시키는 kk의 최솟값은 44

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#함수의 증가#최대최소

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