증가함수 개수 세기

[출제의도] 중복조합을 이용하여 함수의 개수를 추론한다. 조건 (가)를 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $Y$의 원소 중에서 중복을 허락하여 $5$개를 선택하는 중복조합의 수와 같다. 이때 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 $- 1$과 $1$을 적어도 $1$개씩 선택하거나, $0$을 적어도 $2$개 선택해야 한다. (ⅰ) $- 1$과 $1$을 적어도 $1$개씩 선택하는 경우 $- 1$과 $1$을 $1$개씩 선택한 후 $Y$의 원소 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 선택하는 경우의 수는 서로 다른 $5$개에서 중복을 허락하여 $3$개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{5} \mathrm{H} _{3}$$= {} _{5 + 3 - 1} \mathrm{C} _{3}$$= {} _{7} \mathrm{C} _{3}$$= 35$ (ⅱ) $0$을 적어도 $2$개 선택하는 경우 $0$을 $2$개 선택한 후 $Y$의 원소 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 선택하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{H} _{3}$$= {} _{5 + 3 - 1} \mathrm{C} _{3}$$= {} _{7} \mathrm{C} _{3}$$= 35$ (ⅲ) 위의 (ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족시키는 경우 $- 1$을 $1$개, $0$을 $2$개, $1$을 $1$개 선택한 후 $Y$의 원소 중에서 중복을 허락하여 $1$개를 선택하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{H} _{1}$$= {} _{5 + 1 - 1} \mathrm{C} _{1}$$= {} _{5} \mathrm{C} _{1}$$= 5$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $35 + 35 - 5$$= 65$