확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

증가함수 개수

문제

두 집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ , $Y = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \rightarrow Y$ 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x _{1} . x _{2}$ 에 대하여 $x _{1} < x _{2}$ 이면 $f \left( x _{1} \right) \leq f \left( x _{2} \right)$ 이다. (나) $f \left( 1 \right) \leq 3$ (다) $f \left( 3 \right) \leq f \left( 1 \right) + 4$

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105

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해설

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 함수의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)를 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 ${} _{6} \mathrm{H} _{4}$ $= {} _{9} \mathrm{C} _{4}$ $\displaystyle = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ $= 126$ (ⅰ) 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우 $f ( 1 ) \geq 4$ 인 함수 $f$ 의 개수는 ${}_{3} \mathrm{H} _{4}$ $= _{6} \mathrm{C} _{4}$ $= 15$ (ⅱ) 조건 (다)를 만족시키지 않는 경우 $f ( 3 ) - f ( 1 ) > 4$ 에서 $f ( 1 )$ $= 1$ , $f ( 3 )$ $= 6$ 이어야 하므로 $f ( 4 )$ $= 6$ , $1 \leq f ( 2 ) \leq 6$ 이때 함수 $f$ 의 개수는 $6$ (ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족하는 경우는 없다. 따라서 구하는 함수의 개수는 $126 - ( 15 + 6 )$ $= 105$

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