증가 함수 개수

조건 (가)에 의하여 $f \left( 1 \right) \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이고 함수 $f$의 치역의 원소의 개수가 $2$이므로 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 함숫값의 집합을 $A$라 하면 (ⅰ) $n \left( A \right) = 1$일 때 집합 $X$의 원소 중 치역의 원소가 될 수 있는 것을 선택하는 경우의 수는 ${}_{5} \mathrm{C} _{2}$ 선택한 두 개의 원소를 각각 집합 $A$의 원소와 $f \left( 5 \right)$의 값으로 정하는 경우의 수는 $2 !$ 즉 이를 만족시키는 모든 경우의 수는 ${}_{5} \mathrm{C} _{2} \times 2 ! = 10 \times 2 = 20$ (ⅱ) $n \left( A \right) = 2$일 때 집합 $X$의 원소 중 치역의 원소가 될 수 있는 것을 선택하는 경우의 수는 ${}_{5} \mathrm{C} _{2}$ 선택한 두 원소에 대하여 ㉠을 만족시키도록 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$에 각각 대응시키는 경우의 수는 ${}_{2} \mathrm{H} _{4} - 2$ $f \left( 5 \right)$에 대응시키는 경우의 수는 $2$ 즉 이를 만족시키는 모든 경우의 수는 ${}_{5} \mathrm{C} _{2} \times \left( {}_{2} \mathrm{H} _{4} - 2 \right) \times 2$$= 10 \times \left( {}_{5} \mathrm{C} _{1} - 2 \right) \times 2 = 60$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하려는 모든 함수 $f$의 개수는 $20 + 60 = 80$