미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선의 기울기와 평균변화율을 이용한 극한값

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )위의 점 (a,f(a))\left( a , f ( a ) \right)에서의 접선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각이 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}일 때, lim⁡n→∞n{f(a)−2f(a−1n)+f(a+3n)}\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} n \left\{ f ( a ) - 2 f \left( a - \frac{1}{n} \right) + f \left( a + \frac{3}{n} \right) \right\}값을 구하면? ①3\displaystyle \sqrt{3}②23\displaystyle 2 \sqrt{3}③33\displaystyle 3 \sqrt{3}④43\displaystyle 4 \sqrt{3}⑤53\displaystyle 5 \sqrt{3}

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⑤

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해설

주어진 관계식을 평균변화율의 형태로 변형하면 lim⁡n→∞n{f(a)−2f(a−1n)+f(a+3n)}\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} n \left\{ f ( a ) - 2 f \left( a - \frac{1}{n} \right) + f \left( a + \frac{3}{n} \right) \right\} =lim⁡n→∞n{f(a+3n)−f(a−1n)4n⋅4n+f(a)−f(a−1n)1n⋅1n}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} n {\left\{ \frac{f \left( a + \frac{3}{n} \right) - f \left( a - \frac{1}{n} \right)}{\frac{4}{n}} \cdot \frac{4}{n} + \frac{f ( a ) - f \left( a - \frac{1}{n} \right)}{\frac{1}{n}} \cdot {\frac{1}{n}} \right\}} =4f′(a)+f′(a)= 4 f' ( a ) + f' ( a ) =5×tan⁡(π3)\displaystyle = 5 \times \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) =53\displaystyle = 5 \sqrt{3}

태그

#미분계수#평균변화율#접선의 기울기

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