미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 탄젠트

문제

그림과 같이 AB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3, BC‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 1이고 ∠ABC=π2\displaystyle \angle \mathrm{ABC} = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선과 AC\mathrm{AC}의 연장선이 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. ∠PQA=π4\displaystyle \angle \mathrm{PQA} = \frac{\pi}{4}이고 ∠PAB=θ\angle \mathrm{PAB} = \theta라 할 때, 60tan⁡2θ60 \tan 2 \theta의 값을 구하시오. (단,0<θ<π6)\displaystyle \left( \text{단} , 0 < \theta < \frac{\pi}{6} \right) [4점]

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30

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다. 원의 중심을 O\mathrm{O}라 하면 ∠POB=2θ\mathrm{\angle} POB = 2 \theta 직선 OP\mathrm{OP}와 선분 AC\mathrm{AC}가 만나는 점을 R\mathrm{R}, ∠BAC=α\mathrm{\angle} BAC = \alpha라 하면 ∠PRQ=α+2θ\mathrm{\angle} PRQ = \alpha + 2 \theta이고 tan⁡α=13\displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{3} ∠QPR=π2,\displaystyle \mathrm{\angle} QPR = \frac{\pi}{2} ,∠PQA=π4\displaystyle \angle \mathrm{PQA} = \frac{\pi}{4}이므로 ∠PRQ=α+2θ=π4\displaystyle \mathrm{\angle} PRQ = \alpha + 2 \theta = \frac{\pi}{4} tan⁡2θ=tan⁡(π4−α)=1−tan⁡α1+1⋅tan⁡α=2343=12\displaystyle \tan 2 \theta = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{1 - \tan \alpha}{1 + 1 \cdot \tan \alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2} 따라서 60tan⁡2θ=3060 \tan 2 \theta = 30

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#탄젠트 덧셈정리

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