미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 수직인 직선

문제

곡선 y=x3−ax+by = x ^{3} - ax + b위의 점 (1,1)\left( 1 , 1 \right)에서의 접선과 수직인 직선의 기울기가 −12\displaystyle - \frac{1}{2}이다. 두 상수 aa, bb에 대하여 a+ba + b의 값을 구하시오. [44점]

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해설

[출제의도] 미분을 이용하여 접선의 기울기를 구할 수 있는가? y′=3x2−ay' = 3 x ^{2} - a이므로 점 (1,1)( 1 , 1 )에서의 접선의 기울기는 3−a3 - a이다. 따라서, 이 접선과 수직인 직선의 기울기가 −12\displaystyle - \frac{1}{2}이므로 (3−a)×(−12)=−1,3−a=2\displaystyle ( 3 - a ) \times \left( - \frac{1}{2} \right) = - 1 , 3 - a = 2 즉, a=1a = 1이다. 또한, 점 (1,1)( 1 , 1 )은 곡선 y=x3−x+by = x ^{3} - x + b위의 점이므로 1=13−1+b1 = 1 ^{3} - 1 + b b=1b = 1 따라서, a+b=2a + b = 2이다.

태그

#접선의 기울기#수직

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