공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 현의 길이

문제

그림과 같이 중심이 원점 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $a$ 인 원 $C _{1}$ 과 중심이 $\left( \mathit{d} , 0 \right)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원 $C _{2}$ 가 있다. 원점 $\mathrm{O}$ 에서 원 $C _{2}$ 에 그은 두 접선과 원 $C _{1}$ 의 교점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 다음은 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이를 구하는 과정이다. (단, $d > r$ )

원점 $\mathrm{O}$ 에서 원 $C _{2}$ 에 그은 접선을 $y = mx$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 라 하자. 점 $\left( d , 0 \right)$ 과 직선 $y = mx$ 사이의 거리는 $r$ 이므로 $r ^{2} ( m ^{2} + 1 ) = d ^{2} \times \square {( \text{가} ) _{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{{} _{}}}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ 이 성립한다. 또한, $\text{㉠}$ 과 원 $C _{1}$ 의 방정식에서 $y ^{2} \times \square {( \text{나} ) _{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{{} _{}}} = m ^{2} a ^{2}$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ 이 성립한다. $\text{㉡}$ ， $\text{㉢}$ 에서 두 교점의 $y$ 좌표는 각각 $\displaystyle \frac{ar}{d}$ , $\displaystyle - \frac{ar}{d}$ 이다. 따라서 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이는 $\displaystyle \frac{2 ar}{d}$ 이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( m )$ , $g ( m )$ 이라 할 때, $f \left( 2 \right) \times g ( 3 )$ 의 값은? [4점] ① $36$ ② $40$ ③ $44$ ④ $48$ ⑤ $52$

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②

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해설

[출제의도] 원과 직선의 위치관계 추론하기 원점 $\mathrm{O}$ 에서 $C _{2}$ 에 그은 접선은 $y = mx$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 점 $\left( d , 0 \right)$ 과 직선 $y = mx$ 사이의 거리는 $r$ 이므로 $\displaystyle \frac{\left| dm \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = r$ $\displaystyle r \sqrt{m ^{2} + 1} = \left| dm \right|$ $r ^{2} \left( m ^{2} + 1 \right) = d ^{2} \times \square {{}_{{} ^{}} m ^{2 ^{}}}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\therefore$ $f ( m ) = m ^{2}$ 또한, $\text{㉠}$ 과 원 $C _{1}$ 의 방정식에서, $x ^{2} + y ^{2} = a ^{2}$ 의 양변에 $m ^{2}$ 을 곱하면 $m ^{2} x ^{2} + m ^{2} y ^{2} = m ^{2} a ^{2}$ 이고 $y ^{2} = m ^{2} x ^{2}$ 이므로 $y ^{2} + m ^{2} y ^{2} = m ^{2} a ^{2}$ $y ^{2} \times \square {{}_{{} ^{}} ( m ^{2 ^{}} + 1 )} = m ^{2} a ^{2}$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ $\therefore$ $g \left( m \right) = m ^{2} + 1$ 따라서 $f \left( 2 \right) \times g \left( 3 \right) = 4 \times 10 = 40$

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