대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 부채꼴 넓이

문제

그림과 같이 선분 PA\mathrm{PA}와 선분 PB\mathrm{PB}는 원 O\mathrm{O}의 접선이고 어두운 두 부분의 넓이가 같도록 하는 2θ2 \theta에 대하여 2tan⁡θθ\displaystyle \frac{2 \tan \theta}{\theta}의 값을 구하시오. (단,∠AOB=2θ\mathrm{\angle} AOB = 2 \theta, 0<2θ<π0 < 2 \theta < \pi) [4점]

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해설

[출제의도] 원의 접선과 부채꼴의 넓이를 이해하여 문제해결하기 주어진 그림에 보조선 PP′PP ^{'}를 그으면 다음 그림과 같다.

위의 그림에서 원의 반지름의 길이를 rr이라 하면 △PBO\triangle PBO의 넓이 = 12×r×rtan⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times r \times r \tan \theta, 부채꼴의 넓이=12r2θ\displaystyle \frac{1}{2} r ^{2} \theta 이때, 두 빗금 친 부분의 넓이는 같으므로 2×12r2θ=12r2tan⁡θ\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} r ^{2} \theta = \frac{1}{2} r ^{2} \tan \theta 즉, 2θ=tan⁡θ2 \theta = \tan \theta ∴ tan⁡θθ=2\displaystyle \frac{\tan \theta}{\theta} = 2 이므로 2tan⁡θθ=4\displaystyle \frac{2 \tan \theta}{\theta} = 4

태그

#부채꼴의 넓이#호도법

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