접선 y절편 비

점 $\mathrm{P}$가 제$1$사분면 위의 점이므로 $a > 0$이고 $b > 0$이다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - x$라 할 때, $f' ( x ) = x ^{2} - 1$이므로 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\mathrm{P}$$( a , b )$에서의 접선의 방정식은 $y$$= f' ( a ) ( x - a ) + f ( a )$ $\displaystyle = ( a ^{2} - 1 ) ( x - a ) + \frac{1}{3} a ^{3} - a$ 이다. 따라서 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $\displaystyle - \frac{2}{3} a ^{3}$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} \frac{= \mathit{2}}{3} a ^{3}$이다. (∵ $a > 0$) 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표는 $\displaystyle f ( a ) = \frac{1}{3} a ^{3} - a$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OR}} = \frac{1}{3} a ^{3} - a$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} : \overline{OR} = 3 : 1$에서 $\displaystyle \frac{2}{3} a ^{3} : \frac{1}{3} a ^{3} - a = 3 : 1$ $\displaystyle a ^{3} - 3 a = \frac{2}{3} a ^{3}$ $a ( a + 3 ) ( a - 3 ) = 0$ ∴ $a = 3$ (∵ $a > 0$) ∴ $\displaystyle b = f ( a ) = \frac{1}{3} \cdot 3 ^{3} - 3 = 6$ ∴ $ab = 3 \cdot 6 = 18$