공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

접선·할선 길이 행렬

문제

그림과 같이 원 밖의 한 점 P\mathrm{P}에서 원에 한 접선과 한 할선을 그을 때, 접점을 A\mathrm{A}라 하고 원이 할선과 만나는 두 점을 각각 B,C\mathrm{B} , C라 하자. 또, ∠BAC\mathrm{\angle} BAC의 이등분선과 할선의 교점을 D\mathrm{D}라 하자.

네 선분 PA\mathrm{PA}, PB\mathrm{PB}, PC\mathrm{PC}, PD\mathrm{PD}의 길이를 각각 a,b,c,da , b , c , d라 할 때, a,b,c,da , b , c , d를 성분으로 하는 이차정사각행렬 TT를 T=(abcd)\displaystyle T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}라 하자. <보기>에서 역행렬이 항상 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. TT ㄴ. T+ET + E ㄷ. T−ET - E

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
②

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 역행렬이 존재하는가를 판단하는 문제이다. 원의 성질에 의하여 a2=bca ^{2} = bc이다. 또, ∠PCA=∠PAB,∠CAD=∠BAD\mathrm{\angle} PCA = \angle PAB , \mathrm{\angle} CAD = \angle BAD이므로 ∠PDA=∠PCA+∠CAD\mathrm{\angle} PDA = \angle PCA + \angle CAD =∠PAB+∠BAD\mathrm{=} \angle PAB + \angle BAD =∠PAD= \mathrm{\angle} PAD

따라서 △PAD\mathrm{\triangle} PAD는 이등변삼각형이므로 PA‾=PD‾\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \overline{PD}이다. 즉, a=da = d 따라서 a2=bca ^{2} = bc에서 ad=bcad = bc이므로 ad−bc=0ad - bc = 0이다. ㄱ. TT의 역행렬은 존재하지 않는다. ∴\therefore거짓 ㄴ. T+E=(a+1bcd+1)\displaystyle T + E = \begin{pmatrix} a + 1 & b \\ c & d + 1 \end{pmatrix}에서 (a+1)(d+1)−bc=ad−bc+(a+d)+1( a + 1 ) ( d + 1 ) - bc = ad - bc + ( a + d ) + 1 =(a+d)+1≠0= ( a + d ) + 1 \ne 0 이므로 항상 역행렬이 존재한다. ∴\therefore참 ㄷ. T−E=(a−1bcd−1)\displaystyle T - E = \begin{pmatrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{pmatrix}에서 (a−1)(d−1)−bc=ad−bc−(a+d)+1( a - 1 ) ( d - 1 ) - bc = ad - bc - ( a + d ) + 1 =−(a+d)+1= - ( a + d ) + 1 이므로 a+d=1a + d = 1일 때 역행렬이 존재하지 않는다. ∴\therefore거짓

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#역행렬 존재 조건#방멱 정리

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