접선 기울기 극한

[출제의도] 이차함수와 원의 접선을 이용하여 수열의 극한값을 구한다. 원 $C _{\mathit{n}}$의 중심이 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathit{\left( n , n ^{2} \right)}$이고 $y$축에 접하므로, 반지름의 길이는 $n$이다. 또 원점을 지나고 기울기가 $a _{n}$인 직선의 방정식은 $y = a _{n} x$ 즉, $a _{n} x - y = 0$이다. 원 $C _{\mathit{n}}$과 직선 $a _{n} x - y = 0$이 접하므로 원의 중심 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathit{\left( n , n ^{2} \right)}$에서 직선 $a _{n} x - y = 0$에 이르는 거리가 $n$이다. ∴ $\displaystyle \frac{\left| n a _{n} - n ^{2} \right|}{\sqrt{a _{n} ^{2} + 1}} = n$ $\displaystyle \frac{\left| a _{n} - n \right|}{\sqrt{a _{n} ^{2} + 1}} = 1$ 양변을 제곱하여 정리하면 $a _{n} ^{2} - 2 n a _{n} + n ^{2} = a _{n} ^{2} + 1$ ∴ $\displaystyle a _{n} = \frac{n ^{2} - 1}{2 n}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ^{2} - 1}{2 n ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1 - \frac{1}{n ^{2}}}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$ [다른 풀이] 원의 방정식은 $( x - n ) ^{2} + ( y - n ^{2} ) ^{2} = n ^{2}$ $y = a _{n} x$를 대입하면 $( x - n ) ^{2} + ( a _{n} x - n ^{2} ) ^{2} = n ^{2}$ $x ^{2} - 2 nx + n ^{2} + a _{n} ^{2} x ^{2} - 2 n ^{2} a _{n} x + n ^{4} = n ^{2}$$( 1 + a _{n} ^{2} ) x ^{2} - 2 ( n + n ^{2} a _{n} ) x + n ^{4} = 0$ 직선과 원이 접하므로 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( n + n ^{2} a _{n} \right) ^{2} - n ^{4} ( 1 + a _{n} ^{2} ) = 0$이다. $2 n ^{3} a _{n} = n ^{4} - n ^{2}$ ∴ $\displaystyle a _{n} = \frac{n ^{2} - 1}{2 n}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$