접평면 사이 정사영

구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1$ 위의 점 $\displaystyle \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} , 0 \right)$에서 구에 접하는 평면 $\alpha$의 방정식은 $\displaystyle \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y = 1$ $\therefore 4 x + 3 y = 5$ 점 $\displaystyle \left( 0 , \frac{3}{5} , \frac{4}{5} \right)$에서 구에 접하는 평면의 방정식은 $\displaystyle \frac{3}{5} y + \frac{4}{5} z = 1$ $\therefore 3 y + 4 z = 5$ 평면 $\alpha , \beta$의 법선벡터를 각각 $\vec{a} , \vec{b}$라 하면 $\vec{a} = ( 4 , 3 , 0 ) , \vec{b} = ( 0 , 3 , 4 )$ 평면 $\alpha$와 평면 $\beta$가 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$$\displaystyle = \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + 0 \cdot 4}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{9}{5 \times 5}$$\displaystyle = \frac{9}{25}$ $S' = S \cdot \cos \theta$에서 $\displaystyle S = 100 , \cos \theta \frac{9}{25}$이므로 $\displaystyle S' = 100 \times \frac{9}{25}$$= 36$ 따라서, 구하는 정사영의 넓이는 $36$이다.