미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

접하는 원 반지름 급수

문제

아래 그림과 같이 원 O1\mathrm{O} _{1} 밖의 한 점P\mathrm{P}에서 원O1\mathrm{O} _{1}에 그은 두 접선의 접점을 각각 Q,R\mathrm{Q} , R이라고 하자. 이 때, PR‾=63\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = 6 \sqrt{3}, ∠RPQ=60\mathrm{\angle} RPQ = 60이다. 선분PQ\mathrm{PQ}와 선분PR\mathrm{PR}에 접하고 원O1\mathrm{O} _{1}에 외접하는 원 O2\mathrm{O} _{2}를 그린다. 이와 같은 방법으로 원 O3,O4,⋯\mathrm{O} _{3} , O _{4} , \cdots를 계속 그려 나갈 때, 원 O1,O2,O3,O4,⋯\mathrm{O} _{1} , O _{2} , O _{3} , O _{4} , \cdots의 반지름 길이의 총합은? [3점]

①53\displaystyle 5 \sqrt{3}②99③1010④63\displaystyle 6 \sqrt{3}⑤1212

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②

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해설

그림에서 rn−rn+1rn+rn+1=sin⁡30∘=12\displaystyle \frac{r _{n} - r _{n+1}}{r _{n} + r _{n+1}} = \sin 30 ^\circ = \frac{1}{2} ∴rn+1=13rn\displaystyle \therefore r _{n+1} = \frac{1}{3} r _{n}이고 r163=tan⁡30∘=13\displaystyle \frac{r _{1}}{6 \sqrt{3}} = \tan 30 ^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} ∴r1=6\therefore r _{1} = 6이므로 ∴rn=6⋅(13)n−1\displaystyle \therefore r _{n} = 6 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1}인 등비수열이다. ∴∑n=1∞rn=∑n=1∞6⋅(13)n−1=61−13=9\displaystyle \therefore \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} r _{n} = \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} 6 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = 9

태그

#등비급수#접원

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