접하는 원 반지름 극한

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 문제해결하기

원 $C _{n}$의 중심을 $A _{n} ( n , 0 )$, 점 $A _{n}$에서 직선 $x - 2 y = 0$에 내린 수선의 발을 $H _{n}$이라 하자. 원 $C _{n}$과 직선 $x - 2 y = 0$에 동시에 접하고 점 $P _{n}$을 지나는 원의 중심을 $B _{n}$, 점 $B _{n}$에서 직선 $x - 2 y = 0$에 내린 수선의 발을 $G _{n}$이라 하자. 점 $A _{n}$과 직선 $x - 2 y = 0$ 사이의 거리를 구하면 $\displaystyle {\overline{A _{n} H _{n}}} = \frac{\left| n \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{\sqrt{5}}{5} n$ 직각삼각형 $OB _{n} G _{n}$과 직각삼각형 $OA _{n} H _{n}$은 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{B _{n} G _{n}}} : {\overline{A _{n} H _{n}}} = {\overline{OB _{n}}} : {\overline{OA _{n}}}$ $\displaystyle r _{n} : \frac{\sqrt{5}}{5} n = n - \left( r _{n} + \frac{\sqrt{5}}{5} n \right) : n$ $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5} n \times \left\{ n - \left( r _{n} + \frac{\sqrt{5}}{5} n \right) \right\} = n \times r _{n}$ $\displaystyle r _{n} = \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{10} n$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{r _{n}}{n} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{10} \sqrt{5}$ $\displaystyle a = - \frac{1}{2} , b = \frac{3}{10}$ $\therefore 10 ( b - a ) = 8$