접은 사면체의 정사영

[출제의도] 삼수선의 정리를 활용하여 정사영시킨 도형의 넓이를 구할 수있는가? $\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = \frac{1}{2} \overline{BD} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$

선분 $\mathrm{MN}$의 중점을 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{F}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \frac{3}{2} \overline{AF} = \frac{3}{2} \times 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ 이때 삼각형 $\mathrm{AMN}$의 넓이는 $\mathrm{\triangle} AMN$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times {\overline{MN}} \times {\overline{AE}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \sqrt{3}$$\displaystyle = 3 \sqrt{3}$ 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\mathrm{AMN}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{AM}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하자.

삼각형 $\mathrm{AME}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} \perp \overline{ME}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{AE}} ^{2} + {\overline{ME}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 3 \sqrt{3} \right) ^{2} + 1 ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{7}$ 삼각형 $\mathrm{PAM}$의 넓이에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AP}} \times \overline{MP} \times \sin \frac{2}{3} \pi = \frac{1}{2} \times \overline{AM} \times \overline{PQ}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{7} \times \mathrm{\overline{PQ}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{21}}{7}$ 한편, $\displaystyle \mathrm{\overline{HE}} = \mathit{k}$ ($k$는 양수)라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2} - {\overline{AH}} ^{2} = {\overline{PE}} ^{2} - {\overline{HE}} ^{2}$ 이므로 $\displaystyle 4 ^{2} - \left( 3 \sqrt{3} - k \right) ^{2} = \left( \sqrt{3} \right) ^{2} - k ^{2}$ $\displaystyle k = \frac{7 \sqrt{3}}{9}$ 삼각형 $\mathrm{PHE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{PE}} ^{2} - {\overline{HE}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right) ^{2} - \left( \frac{7 \sqrt{3}}{9} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$ 삼각형 $\mathrm{PHQ}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{PQ}} ^{2} - {\overline{PH}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) ^{2} - \left( \frac{4 \sqrt{6}}{9} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{10 \sqrt{21}}{63}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} \perp$(평면$\mathrm{AMN}$), $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \perp \overline{AM}$ 이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}} \perp \overline{AM}$ 평면 $\mathrm{AMN}$과 평면 $\mathrm{PAM}$의 이면각의 크기를 $\displaystyle \theta \left( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{{\overline{QH}}}}{{\overline{PQ}}}$$\displaystyle = \frac{\frac{10 \sqrt{21}}{63}}{\frac{2 \sqrt{21}}{7}}$$\displaystyle = \frac{5}{9}$ 삼각형 $\mathrm{AMN}$의 평면 $\mathrm{PAM}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle 3 \sqrt{3} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{3} \sqrt{3}$ 따라서 $p = 3 , q = 5$이므로 $p + q = 3 + 5 = 8$