접어 올린 반원

[출제의도] 두 평면이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가? $\displaystyle \mathrm{\overline{PG}} = \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} = 2 \sqrt{3}$이므로 점 $\mathrm{P}$를 지나고 평면 $\mathrm{ABCD}$와 평행한 평면이 두 선분 $\mathrm{QC}$, $\mathrm{QH}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{M} _{1}$, $\mathrm{M} _{2}$라 하면 두 점은 중점이다. 이때, 구하는 평면이 이루는 각은 두 평면 $\mathrm{PM} _{1} M _{2}$, $\mathrm{PM} _{1} Q$가 이루는 각이다.

한편 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}'$, 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원의 중심을 $\mathrm{O} _{1}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} P'}} = 4 \mathit{\cos} 60 ^\circ = 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{P' G}}$$\displaystyle = \mathrm{\sqrt{{\overline{PP'}} ^{2} - {\overline{PG}} ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 4 \sin 60 ^\circ \right) ^{2} - \left( \sqrt{3} \right) ^{2}}$$= 3$ 또, 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}'$, 선분 $\mathrm{CD}$를 지름으로 하는 원의 중심을 $\mathrm{O} _{2}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{HO _{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{QO _{2}}} ^{2} - {\overline{QH}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} - \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}}$$= 2$ 이때, 점 $\mathrm{M} _{1}$의 평면 $\mathrm{ABCD}$ 위로 정사영 시킨 점을 $\mathrm{M} _{1}'$이라 하면, $\mathrm{M} _{1}'$은 선분 $\mathrm{CH}$의 중점이므로 그림과 같다.

이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} = \sqrt{3 ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{13}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HM _{1}'}} = \frac{1}{2} {\overline{HC}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2}} = \sqrt{5}$ 또, 선분 $\mathrm{GM} _{1}'$과 점 $\mathrm{H}$를 지나고 선분 $\mathrm{BC}$에 수직인 직선이 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{GM _{1}'}} = {\overline{G E}} + {\overline{EM _{1}'}} = 3 + 1 = 4$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{PM _{2}}} = {\overline{GH}} = \sqrt{13}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{M _{1} M _{2}}} = {\overline{HM _{1}'}} = \sqrt{5}$ $$$\displaystyle \mathrm{\overline{PM _{1}}} = {\overline{GM _{1}'}} = 4$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{\left( \sqrt{13} \right) ^{2} + \left( \sqrt{3} \right) ^{2}} = 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QM _{1}}} = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right) ^{2} + \left( \sqrt{5} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{2}$ 이므로 다음 그림과 같다.

점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{QM} _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}''$이라 하자.

이때, $\angle \mathrm{PM} _{1} Q = \alpha$라 하면 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{\mathrm{\overline{M _{1} P''}}}{{\overline{\mathrm{PM} _{1}}}} = \frac{\frac{1}{2} {\overline{M _{1} Q}}}{{\overline{PM _{1}}}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 또, 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{PM} _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}'$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{QQ'}} \perp \mathrm{\overline{PM _{1}}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{QM _{2}}} \perp$(평면 $\mathrm{PM} _{1} M _{2}$)이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{M _{2} Q'}} \perp {\overline{PM _{1}}}$

이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{M _{1} Q'}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{QM _{1}}} \cos \alpha$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{4}$$= 1$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QQ'}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{QM} _{1}}} ^{2} - {\overline{Q' M _{1}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} - 1 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{7}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{M _{2} Q'}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{M _{2} M _{1}}} ^{2} - {\overline{Q' M _{1}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{5} \right) ^{2} - 1 ^{2}} = 2$ 따라서, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathrm{\overline{Q' M _{2}}}}{{\overline{\mathrm{QQ}'}}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ 이므로 $\displaystyle 70 \times \mathrm{\cos} ^{2} \theta = 70 \times \frac{4}{7} = 40$