대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

전송 손실 로그

문제

어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 $R$ , 스피커의 임피던스를 $r$ , 전송 손실을 $L$ 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. $\displaystyle L = 10 \log \left( 1 + \frac{2 R}{r} \right)$ (단, 전송 손실의 단위는 $\mathrm{dB}$ , 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 $\Omega$ 이다.) 이 앰프에 임피던스가 $8$ 인 스피커를 저항이 $5$ 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 $a$ 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 $2$ 배이다. 양수 $a$ 의 값은?[4점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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④

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[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기 임피던스가 $8$ 인 스피커를 저항이 $5$ 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 $a$ 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 $2$ 배이므로 $\displaystyle 10 \log \left( 1 + \frac{2 \times 5}{8} \right) = 2 \times 10 \log \left( 1 + \frac{2 a}{8} \right)$ $\displaystyle \log \frac{9}{4} = \log \left( 1 + \frac{2 a}{8} \right) ^{2}$ $\displaystyle \left( 1 + \frac{a}{4} \right) ^{2} = \frac{9}{4}$ $\displaystyle 1 + \frac{a}{4} = \frac{3}{2}$ ( $\because$ $a > 0$ ) 따라서 $a = 2$

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