확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

전자 상태 변화 경로 수

문제

어떤 원자의 전자들은 에너지의 증감에 따라 세가지 상태 $a , b , c$ 로 바뀐다. 이 때, 다음 규칙이 적용된다고 하자.

규칙　1：에너지가 증가하면 $b$ 상태의 전자는 $c$ 상태로 올라가고, $a$ 상태의 전자 중 일부는 $b$ 상태로, 나머지는 $c$ 상태로 올라간다. 규칙　2：에너지가 감소하면 $b$ 상태의 전자는 $a$ 상태로 내려가고, $c$ 상태의 전자 중 일부는 $b$ 상태로, 나머지는 $a$ 상태로 내려간다.

<단계 1>에서 전자는 $a$ 상태에 있다. 에너지가 증가하여 <단계 2>가 되면 이 전자는 $b$ 상태 또는 $c$ 상태가 된다. 이 때, 이 전자가 취할 수 있는 변화의 경로는 $a \rightarrow b$ 와 $a \rightarrow c$ 의 $2$ 가지이다. 다시 에너지가 감소하여 <단계 3>이 되면, 이때까지의 가능한 변화 경로는 $a \rightarrow b \rightarrow a$ , $a \rightarrow c \rightarrow b$ , $a \rightarrow c \rightarrow a$ 의 $3$ 가지이다. 이와 같이 에너지의 증가와 감소가 교대로 계속될 때, <단계 1>부터 <단계 7>까지 이 전자의 가능한 변화 경로의 수는? [3점] ① $18$ ② $19$ ③ $20$ ④ $21$ ⑤ $22$

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④

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해설

에너지 증가시 : $a \rightarrow b , c ( 2 \text{가지} ) ,$ $b \rightarrow c ( 1 \text{가지} )$ 에너지 감소시 : $b \rightarrow a ( 1 \text{가지} ) ,$ $c \rightarrow a , b ( 2 \text{가지} )$ 단계1 $a$ 단계2 <증가> $a \rightarrow b \text{또는} c$ (각각 $1$ 가지) 단계3 <감소> $b \rightarrow a$ , $c \rightarrow b \text{또는} a$ (각각 $1$ 가지) 즉, $a ( 2 )$ , $b ( 1 )$ 단계4 <증가> $a \rightarrow b \text{또는} c$ (각각 $2$ 가지), $b \rightarrow c$ ( $1$ 가지) 즉, $b ( 2 ) , c ( 3 )$ 단계5 <감소> $b \rightarrow a$ ( $2$ 가지), $c \rightarrow b \text{또는} a$ (각각 $3$ 가지) 즉, $a ( 5 )$ , $b ( 3 )$ 단계6 <증가> $a \rightarrow b \text{또는} c$ (각각 $5$ 가지), $b \rightarrow c$ ( $3$ 가지) 즉, $b ( 5 ) , c ( 8 )$ 단계7 <감소> $b \rightarrow a$ ( $5$ 가지), $c \rightarrow b \text{또는} a$ (각각 $8$ 가지) 즉, $a ( 13 ) , b ( 8 )$ 따라서, 가능한 변화 경로의 수는 $21$ 가지이다.

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