확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육면체 선분 길이 기댓값

문제

한 모서리의 길이가 $1$ 인 정육면체의 $8$ 개의 꼭지점에서 $2$ 개를 선택하여 선분을 만들 때 선분의 길이를 확률변수 $X$ 라고 하자. 이때, 확률변수 $14 X ^{2}$ 의 기대값 $\mathrm{E} ( \mathit{14} X ^{2} )$ 을 구하시오. [4점]

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해설

전체 선분의 수는 ${}_{8} \mathrm{C} _{2} = 28$ 이고, 길이가 $1$ 인 경우는 $12$ 가지, 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$ 인 경우는 $12$ 가지, 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$ 인 경우는 $4$ 가지이므로 $X$ 의 확률분포표는 다음과 같다.

$`$ $X$	$1$	$\displaystyle \sqrt{2}$	$\displaystyle \sqrt{3}$	계
$14 X ^{2}$	$14$	$28$	$42$
${\mathrm{P}} ( X = x )$	$\displaystyle \frac{3}{7}$	$\displaystyle \frac{3}{7}$	$\displaystyle \frac{1}{7}$	$1$

$\therefore \mathrm{E} ( 14 \mathit{X} ^{2} ) = 6 + 12 + 6 = 24$

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