기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 내접구 단면

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $12$ 인 정육면체 $\mathrm{ABCD} - EFGH$ 에 내접하는 구가 있다. 변 $\mathrm{AE}$ , $\mathrm{CG}$ 를 $1 : 3$ 으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{R}$ 라 하고 변 $\mathrm{BF}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 한다. 네 점 $\mathrm{D}$ , $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ 를 지나는 평면으로 내접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓이는?

[4점] ① $26 \pi$ ② $28 \pi$ ③ $30 \pi$ ④ $32 \pi$ ⑤ $34 \pi$

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②

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해설

내접구의 중심을 $\mathrm{O}$ , 변 $\mathrm{DH}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}'$ , 점 $\mathrm{O}$ 에서 선분 $\mathrm{DQ}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S}$ 라 하자. $\triangle \mathrm{DQQ}'$ 󰁀 $\triangle \mathrm{OQS}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{DQ}'} = 6$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{DQ}} = 18$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = 6 \sqrt{2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OS}} = 6 \sqrt{2} \times \frac{6}{18} = 2 \sqrt{2}$

구의 반지름의 길이가 $6$ 이므로 구를 평면 $\mathrm{DPQR}$ 로 자른 단면의 반지름의 길이를 $r$ 라 하면 $\displaystyle r ^{2} = 6 ^{2} - ( 2 \sqrt{2} ) ^{2} = 28$ 따라서 단면의 넓이는 $28 \pi$ 이다.

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