기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 정사영 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH에 대하여 모서리 DH\mathrm{DH}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자. 삼각형 EGM\mathrm{EGM}의 세 점 A\mathrm{A}, F\mathrm{F}, C\mathrm{C}를 포함하는 평면 위로의 정사영의 넓이가 SS일 때, 12S212 S ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 이면각을 이용하여 정사영의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 면ACF\mathrm{ACF}과 면DEG\mathrm{D} E G는 평행하므로 주어진 문제는 면ACF\mathrm{ACF}를 면DEG\mathrm{D} EG로 바꾸어 생각하면 된다. 꼭짓점 D\mathrm{D}에서 선분 EG\mathrm{EG}에 내린 수선의 발을 I\mathrm{I}라 하면 삼각형 DIM\mathrm{DIM}에서 제이코사인법칙에 의하여 cos⁡∠DIM=223\displaystyle \mathrm{\cos} \angle DIM = \frac{2 \sqrt{2}}{3}이다. 따라서 S=12⋅22⋅3⋅223=433\displaystyle \mathrm{S} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}이고 12S2=64\mathrm{12} S ^{2} = 64이다.

태그

#정사영#정육면체

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