기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 정사영 길이

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 2\mathrm{2}인 정육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} \mathit{-} \mathrm{EFGH}에서 모서리 DH\mathrm{DH}의 중점을 M\mathrm{M}, 모서리 GH\mathrm{GH}의 중점을 N\mathrm{N}이라 하자. 선분 FM\mathrm{FM} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 NP\mathrm{NP}의 길이가 최소일 때, 선분 NP\mathrm{NP}의 평면 FHM\mathrm{FHM} 위로의 정사영의 길이는? [3점]

①28\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}②24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}③328\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{8}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤528\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{8}

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④

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해설

FH‾=22\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = 2 \sqrt{2}, HM‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{HM}}} = 1이므로 FM‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{FM}}} = 3 선분 NP\mathrm{NP}의 길이가 최소이려면 NP‾⊥FM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{NP}}} \perp {\overline{\mathrm{FM}}}이어야 한다. 점 N\mathrm{N}에서 평면 FHM\mathrm{FHM}에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 하면, 평면 FHM\mathrm{FHM}과 평면 FGH\mathrm{FGH}가 수직이므로 점 Q\mathrm{Q}는 선분 FH\mathrm{FH} 위에 있다. 삼각형 HNQ\mathrm{HNQ}는 직각이등변삼각형이고 HN‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{HN}}} = 1이므로 HQ‾=22\displaystyle {\overline{\mathrm{HQ}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, FQ‾=322\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} NP‾⊥FM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{NP}}} \perp {\overline{\mathrm{FM}}}, NQ‾⊥\displaystyle {\overline{\mathrm{NQ}}} \perp(평면 FHM\mathrm{FHM})이므로 삼수선의 정리에 의하여 FM‾⊥PQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FM}}} \perp {\overline{\mathrm{PQ}}} 삼각형 FHM\mathrm{FHM}에서 sin⁡(∠MFH)=13\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{MFH} \right) = \frac{1}{3} 선분 NP\mathrm{NP}의 평면 FHM\mathrm{FHM} 위로의 정사영은 선분 PQ\mathrm{PQ}이므로 PQ‾=FQ‾×sin⁡(∠MFH)=22\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{FQ}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{MFH} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

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#정사영#삼수선의 정리

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