기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정육면체 점과 직선 거리

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 3\mathrm{3}인 정육면체 ABCD−EFGH{\mathrm{ABCD}} \mathit{-} {\mathrm{EFGH}}에서 선분 EH\mathrm{EH}를 2:12 : 1로 내분하는 점을 P\mathrm{P}, 선분 EF\mathrm{EF}를 1:21 : 2로 내분하는 점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 점 A\mathrm{A}와 직선 PQ\mathrm{PQ} 사이의 거리는? [3점]

①755\displaystyle \frac{7 \sqrt{5}}{5}②352\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{2}③855\displaystyle \frac{8 \sqrt{5}}{5}④17510\displaystyle \frac{17 \sqrt{5}}{10}⑤955\displaystyle \frac{9 \sqrt{5}}{5}

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①

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해설

점 A\mathrm{A}에서 선분 PQ\mathrm{PQ}에 내린 수선의 발을 R\mathrm{R}라 하자.

삼수선의 정리에 의해 PQ‾⊥ER‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \perp {\overline{ER}}이 성립한다. PE‾=23×3=2\displaystyle \mathrm{\overline{PE}} = \frac{2}{3} \times 3 = 2, EQ‾=13×3=1\displaystyle \mathrm{\overline{EQ}} = \frac{1}{3} \times 3 = 1 에서 PQ‾=22+1=5\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{2 ^{2} + 1} = \sqrt{5} 이제 삼각형 PQE\mathrm{PQE}와 삼각형 EQR\mathrm{EQR}에서 ER‾=25×1=255\displaystyle \mathrm{\overline{ER}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \times 1 = \frac{2 \sqrt{5}}{5} 따라서 삼각형 AER\mathrm{AER}에서 피타고라스 정리에 의해 AR‾=32+(255)2=75=755\displaystyle \mathrm{\overline{AR}} = \sqrt{3 ^{2} + \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5} \right) ^{2}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7 \sqrt{5}}{5}

태그

#삼수선의 정리#정육면체

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