대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 자른 조각 수

문제

정육면체의 밑면을 α\alpha, 옆면을 β\beta라고 하자. α\alpha와 평행한 서로 다른 mm개의 평면과 β\beta와 평행한 서로 다른 nn개의 평면으로 정육면체를 잘랐을 때, 얻어진 직육면체 모양의 조각의 개수를 f(m,n)f ( m , n )으로 정의하자. 예를 들어 그림과 같이 f(1,0)=2f ( 1 , 0 ) = 2, f(1,1)=4f ( 1 , 1 ) = 4, f(2,1)=6f ( 2 , 1 ) = 6, f(2,2)=9f ( 2 , 2 ) = 9이다. 이때, ∑k=110f(k,k−1)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} f ( k , k - 1 )의 값은? [4점]

α\alpha β\betaα\alpha β\beta
f(1,0)=2f ( 1 , 0 ) = 2f(1,1)=4f ( 1 , 1 ) = 4
α\alpha β\betaα\alpha β\beta
f(2,1)=6f ( 2 , 1 ) = 6f(2,2)=9f ( 2 , 2 ) = 9

①420420②430430③440440④450450⑤460460

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③

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 일반항 추론하기 f(1,0)=2×1=2f ( 1 , 0 ) = 2 \times 1 = 2, f(2,1)=3×2=6f ( 2 , 1 ) = 3 \times 2 = 6, ⋯\cdots 이므로 f(k,k−1)=(k+1)×k=k2+kf ( k , k - 1 ) = ( k + 1 ) \times k = k ^{2} + k이다. ∴\therefore∑k=110f(k,k−1)=∑k=110(k2+k)=440\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} f ( k , k - 1 ) = \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( k ^{2} + k ) = 440

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