정육면체 이면각

$\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$//$\displaystyle \mathrm{\overline{EG}}$이므로 평면 $\mathrm{PMQ}$는 평면 $\mathrm{PEGQ}$에 포함된다. 따라서 $\theta$는 평면 $\mathrm{PEGQ}$와 평면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각이다. 정육면체의 한 변의 길이를 $4$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \sqrt{4 ^{2} + 4 ^{2}} = 4 \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QG}} = \overline{PE} = \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$ 이므로 사각형 $\mathrm{PEGQ}$는 등변사다리꼴이다. 점 $\mathrm{Q}$에서 변 $\mathrm{EG}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하면 그림에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QI}} = \sqrt{( 2 \sqrt{5} ) ^{2} - ( \sqrt{2} ) ^{2}} = 3 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{Q}$에서 평면 $\mathrm{EFGH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{K}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$에서 평면 $\mathrm{EFGH}$에 이르는 거리가 $4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QK}} = 4$ 삼수선의 정리에 의해서 $\mathrm{\angle} QIK = \theta$이므로 $\displaystyle \sin \theta = \frac{4}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ∴ $\displaystyle \cos \theta = \sqrt{1 - \sin ^{2} \theta} = \frac{1}{3}$ ∴ $\tan ^{2} \theta + \sec ^{2} \theta$$= 2 \sec ^{2} \theta - 1$$= 2 \times 9 - 1 = 17$