기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육면체 회전 원

문제

한 모서리의 길이가 11인 정육면체 ABCD−EFGHABCD - EFGH를 다음 두 조건을 만족시키도록 좌표공간에 놓는다. (가) 꼭짓점 A\mathrm{A}는 원점에 놓이도록 한다. (나) 꼭짓점 G\mathrm{G}는 yy축 위에 놓이도록 한다.

위의 조건을 만족시키는 상태에서 이 정육면체를 yy축의 둘레로 회전시킬 때, 점 B\mathrm{B}가 그리는 도형은 점 (0,a,0)( 0 , a , 0 )을 중심으로 하고 반지름의 길이가 rr인 원이다. 이때, a,ra , r의 곱 ara r의 값은? (단, 점 G\mathrm{G}의 yy좌표는 양수이다.) [4점]

①16\displaystyle \frac{1}{6}②26\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}③13\displaystyle \frac{1}{3}④23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}⑤33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

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④

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해설

AG‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} = \sqrt{3}, AB‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 1, GB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{GB}} = \sqrt{2}이므로 △ABG\triangle \mathrm{ABG}는 직각삼각형이다. B\mathrm{B}에서 AG‾\displaystyle \mathrm{\overline{AG}}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 BH‾\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}는 63\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}이고 AH‾=33\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \frac{\sqrt{3}}{3}이므로 a=33\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{3}, b=63\displaystyle b = \frac{\sqrt{6}}{3}이다. ∴\therefore ab=23\displaystyle ab = \frac{\sqrt{2}}{3}

태그

#정육면체#회전#수선의 발

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