기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 단면과 면이 이루는 각

문제

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 33인 정육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH의 세 모서리 AD,BC,FG\mathrm{AD} , BC , FG 위에 DP‾=BQ‾=GR‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{DP}} = \overline{BQ} = \overline{GR} = 1인 세 점 P,Q,R\mathrm{P} , Q , R이 있다. 평면 PQR\mathrm{PQR}와 평면 CGHD\mathrm{CGHD}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [3점]

①105\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}②1010\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}③1111\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{11}④21111\displaystyle \frac{2 \sqrt{11}}{11}⑤31111\displaystyle \frac{3 \sqrt{11}}{11}

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⑤

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해설

F‾R=A‾P=2\displaystyle \overline{\mathrm{F}} R = \overline{\mathrm{A}} P = 2이므로 PQ‾=QR‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{QR}} = \sqrt{10}, PR‾=32\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = 3 \sqrt{2} 삼각형 PQR\mathrm{P} QR에서 밑변을 PR\mathrm{P} R이라 하면 높이는 (높이)=10−92=222\displaystyle ( \text{높이} ) = \sqrt{10 - {\frac{9}{2}}} = \frac{\sqrt{22}}{2} 그래서 △PQR=12⋅32⋅222=3112\displaystyle \triangle \mathrm{P} QR = {\frac{1}{2}} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{22}}{2} = \frac{3 \sqrt{11}}{2} 한편, 삼각형 PQR\mathrm{P} QR의 평면 CGHD\mathrm{C} GHD 위로의 정사영은 삼각형 CGD\mathrm{C} GD이므로 정사영의 기본성질에 의해 △CGD=△PQRcos⁡θ\triangle \mathrm{C} GD = \triangle \mathrm{P} QR \cos \theta ↔\leftrightarrow 92=3112cos⁡θ\displaystyle \frac{9}{2} = \frac{3 \sqrt{11}}{2} \cos \theta 그러므로 cos⁡θ=31111\displaystyle \cos \theta = \frac{3 \sqrt{11}}{11}

태그

#정사영#이면각

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