기하공간도형과 공간좌표수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

정육면체 단면 넓이

문제

그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 OABC−DEFG\mathrm{OABC} - DEFG에서 A(4,0,0)\mathrm{A} ( 4 , 0 , 0 ), C(0,4,0)\mathrm{C} ( 0 , 4 , 0 ), D(0,0,4)\mathrm{D} ( 0 , 0 , 4 )이다. 이 정육면체가 평면 x+y+2z=6x + y + 2 z = 6에 의하여 잘린 단면의 넓이를 SS라 할 때, S2S ^{2}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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294

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해설

[출제의도] 평면과 평면의 위치관계와 정사영을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다. 평면 x+y+2z=6x + y + 2 z = 6에 의하여 정육면체가 잘린 단면은 그림과 같다.

두 평면 x+y+2z=6x + y + 2 z = 6, z=0z = 0의 법선벡터가 각각 (1,1,2)( 1 , 1 , 2 ), (0,0,1)( 0 , 0 , 1 )이므로 두 평면이 이루는 각 θ\theta에 대하여 6⋅1⋅cos⁡θ=2\displaystyle \sqrt{6} \cdot 1 \cdot \cos \theta = 2, cos⁡θ=26\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6}} 오각형 HIJKL\mathrm{HIJKL}의 정사영이 오각형 OAJKC\mathrm{OAJKC}이므로 Scos⁡θ=14S \cos \theta = 14 따라서 S=76\displaystyle S = 7 \sqrt{6}이므로 S2=294S ^{2} = 294

태그

#정사영#단면

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