미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정육면체 부피 변화율

문제

한 변의 길이가 1cm1 \mathrm{cm}인 정육면체의 각 모서리의 길이가 2(cm/초)2 ( \mathrm{cm} / \text{초} )의 일정한 속력으로 증가할 때, 정육면체의 한 면의 넓이가 25(cm2)25 ( \mathrm{cm} ^{2} )가 되는 순간의 시간에 대한 부피의 변화율 (cm3/초)( \mathrm{cm} ^{3} / \text{초} ) 을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 넓이의 시간에 대한 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 한 변의 길이를 ll, 한 면의 넓이를 SS, 직육면체의 부피를 VV라 하면 dldt=2(cm/초)\displaystyle \frac{dl}{dt} = 2 ( \mathrm{cm} / \text{초} ), S=l2,V=l3,S = l ^{2} , V = l ^{3} , S=l2=25,∴l=5S = l ^{2} = 25 , \therefore l = 5 dVdt=3l2⋅dldt=3⋅52⋅2=150\displaystyle \frac{dV}{dt} = 3 l ^{2} \cdot \frac{dl}{dt} = 3 \cdot 5 ^{2} \cdot 2 = 150

태그

#변화율#부피

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