기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 벡터 크기

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 6\displaystyle \sqrt{6}인 정육면체 ABCD−EFGHABCD - EFGH가 있다. 모서리 AE,AB,FG,CGAE , AB , FG , CG의 중점을 각각 P,Q,M,NP , Q , M , N이라 하자.

∣PQ⃗+12NM⃗∣=ba\displaystyle \left| \vec{PQ} + \frac{1}{2} \vec{NM} \right| = \frac{b}{a} 일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 서로소인 자연수이다.] [3점]

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해설

ADAD의 중점을 SS라 하자. NM⃗=SP⃗\vec{NM} = \vec{SP}이고, △SPQ\triangle SPQ는 정삼각형이므로 ∣PQ⃗+12NM⃗∣2\displaystyle \left| \vec{PQ} + \frac{1}{2} \vec{NM} \right| ^{2} =∣PQ⃗+12SP⃗∣2\displaystyle = \left| \vec{PQ} + \frac{1}{2} \vec{SP} \right| ^{2} =∣PQ⃗∣2+∣PQ⃗∣∣SP⃗∣cos⁡120∘+14∣SP⃗∣2\displaystyle = \left| \vec{PQ} \right| ^{2} + \left| \vec{PQ} \right| \left| \vec{SP} \right| \cos 120 ^\circ + \frac{1}{4} \left| \vec{SP} \right| ^{2} =(3)2+3∙3∙(−12)+14(3)2=94\displaystyle = ( \sqrt{3} ) ^{2} + \sqrt{3} \bullet \sqrt{3} \bullet \left( - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{4} \left( \sqrt{3} \right) ^{2} = \frac{9}{4} 따라서 ∣PQ⃗+12SP⃗∣=32\displaystyle \left| \vec{PQ} + \frac{1}{2} \vec{SP} \right| = \frac{3}{2} 이므로 a2+b2=13a ^{2} + b ^{2} = 13

태그

#벡터#정육면체

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