기하평면벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

정육각형과 원 위의 점 벡터

문제

좌표평면에서 한 변의 길이가 44인 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}의 변 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있고, 점 C\mathrm{C}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}가 있다. 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q와 실수 kk에 대하여 점 X\mathrm{X}가 다음 조건을 만족시킬 때, ∣CX⃗∣\left| {\vec{\mathrm{CX}}} \right|의 값이 최소가 되도록 하는 kk의 값을 α\alpha, ∣CX⃗∣\left| \vec{\mathrm{CX}} \right|의 값이 최대가 되도록 하는 kk의 값을 β\beta라 하자.

(가) CX⃗=12CP⃗+CQ⃗\displaystyle \vec{\mathrm{CX}} = \frac{1}{2} \vec{\mathrm{CP}} + \vec{\mathrm{CQ}} (나) XA⃗+XC⃗+2XD⃗=kCD⃗{\vec{\mathrm{XA}}} + {\vec{\mathrm{XC}}} + 2 {\vec{\mathrm{XD}}} = \mathit{k} {\vec{\mathrm{\mathrm{CD}}}}

α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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8

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해설

[출제의도] 벡터의 성질을 이용하여 벡터의 크기의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 CX⃗=12CP⃗+CQ⃗\displaystyle \vec{\mathrm{CX}} = \frac{1}{2} \vec{\mathrm{CP}} + \vec{\mathrm{CQ}}이므로 선분 CA,CB,CD,CE,CF\mathrm{CA} , CB , CD , CE , CF의 중점을 각각 A′,B′,D′,E′,F′\mathrm{A}' , B' , D' , E' , F'이라 하면, 점 X\mathrm{X}는 정육각형 A′B′CDE′F′\mathrm{A}' B' CDE' F' 위의 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 위를 움직인다. 조건 (나)에서 XA⃗+XC⃗+2XD⃗=kCD⃗{\vec{\mathrm{XA}}} + {\vec{\mathrm{XC}}} + 2 {\vec{\mathrm{XD}}} = \mathit{k} {\vec{\mathrm{\mathrm{CD}}}}이므로 (CA⃗−CX⃗)−CX⃗+2(CD⃗−CX⃗)\left( {\vec{\mathrm{CA}}} - {\vec{\mathrm{CX}}} \right) - {\vec{\mathrm{CX}}} + 2 \left( {\vec{\mathrm{CD}}} - {\vec{\mathrm{CX}}} \right)=kCD⃗= k {\vec{\mathrm{CD}}} CX⃗{\vec{\mathrm{CX}}}=14CA⃗+2−k4CD⃗\displaystyle = \frac{1}{4} {\vec{\mathrm{CA}}} + \frac{2 - \mathit{k}}{4} {\vec{\mathrm{CD}}} 14CA⃗\displaystyle \frac{1}{4} {\vec{\mathrm{CA}}}=CG⃗= {\vec{\mathrm{CG}}}라 하면 점 X\mathrm{X}는 점 G\mathrm{G}를 지나고 직선 CD\mathrm{CD}에 평행한 직선 위를 움직인다. 직선 GE′\mathrm{G} E' 위의 점 H\mathrm{H}가 EH′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{EH}'}}=1= 1, GH‾>GE′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}} > {\overline{\mathrm{G} E'}} 를 만족시키도록 점 H\mathrm{H}를 잡는다.

X\mathrm{X}가 점 G\mathrm{G}일 때, ∣CX⃗∣\left| {\vec{\mathrm{CX}}} \right|의 값은 최소이다. CG⃗{\vec{\mathrm{CG}}}=CG⃗+2−k4CD⃗\displaystyle = {\vec{\mathrm{CG}}} + \frac{2 - \mathit{k}}{4} {\vec{\mathrm{CD}}}에서 2−k4\displaystyle \frac{2 - k}{4}=0= 0 kk=2= 2 즉, α\alpha=2= 2 점 X\mathrm{X}가 점 H\mathrm{H}일 때, ∣CX⃗∣\left| {\vec{\mathrm{CX}}} \right|의 값은 최대이다. ∣GH⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GH}}} \right|=4= 4에서 ∣2−k4CD⃗∣\displaystyle \left| \frac{2 - k}{4} {\vec{\mathrm{CD}}} \right|=4= 4, 즉 2−k4∣CD⃗∣\displaystyle \frac{2 - k}{4} \left| {\vec{\mathrm{CD}}} \right|=4= 4이므로 2−k4×4\displaystyle \frac{2 - k}{4} \times 4=4= 4 kk=−2= \mathit{-} 2 즉, β\beta=−2= \mathit{-} 2 따라서 α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}=22+(−2)2= 2 ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2}=8= 8

태그

#벡터의 연산#최대최소#정육각형

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