확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육각형 색칠 방법

문제

그림과 같이 정육각형을 $6$ 등분하고 있는 정삼각형에 흰색 또는 검은색을 칠하여 정육각형을 네 부분으로 구분하려고 한다. 이때, 서로 다른 모양으로 색칠하는 방법은 모두 몇 가지인가? (단, 회전에 의하여 겹쳐지는 모양은 같은 것으로 본다.) [4점]

① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$

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③

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정육각형에 칠해진 검은색 삼각형의 개수가 $2$ 개인 우, $3$ 개인 경우, $4$ 개인 경우는 각각 다음과 같다.

따라서 구하는 경우의 수는 $2 + 2 + 2 = 6$ <참고> 네 자연수의 합이 $6$ 인 숫자의 조합은 $( 1 , 1 , 1 , 3 )$ , $( 1 , 1 , 2 , 2 )$ 이다. 이 수들을 원형으로 배열하는 방법은 아래 그림의 세 가지이다.

그림에 나열된 수와 같은 정삼각형의 개수에 흰 색 또는 검은 색을 번갈아 칠하면 정육각형을 네 부분으로 구분하는 한 가지 방법과 대응되므로 $6$ 가지이다.