미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육각형 등비급수

문제

한 변의 길이가 11인 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}에서 길이가 22인 대각선의 교점을 O\mathrm{O}라 하자. 그림과 같이 꼭짓점 A,\mathrm{A} , B,\mathrm{B} , C,\mathrm{C} , D,\mathrm{D} , E,\mathrm{E} , F\mathrm{F}를 중심으로 하여 점 O\mathrm{O}를 시계 방향으로 60∘60 ^\circ만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 A1,\mathrm{A} _{1} , B1,\mathrm{B} _{1} , C1,\mathrm{C} _{1} , D1,\mathrm{D} _{1} , E1,\mathrm{E} _{1} , F1\mathrm{F} _{1}이라 하자. 정육각형 A1B1C1D1E1F1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}에서 꼭짓점 A1,\mathrm{A} _{1} , B1,\mathrm{B} _{1} , C1,\mathrm{C} _{1} , D1,\mathrm{D} _{1} , E1,\mathrm{E} _{1} , F1\mathrm{F} _{1}을 중심으로 하여 점 O\mathrm{O}를 시계 방향으로 60∘60 ^\circ만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 A2,\mathrm{A} _{2} , B2,\mathrm{B} _{2} , C2,\mathrm{C} _{2} , D2,\mathrm{D} _{2} , E2,\mathrm{E} _{2} , F2\mathrm{F} _{2}라 하자. 정육각형 A2B2C2D2E2F2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}에서 꼭짓점 A2,\mathrm{A} _{2} , B2,\mathrm{B} _{2} , C2,\mathrm{C} _{2} , D2,\mathrm{D} _{2} , E2,\mathrm{E} _{2} , F2\mathrm{F} _{2}를 중심으로 하여 점 O\mathrm{O}를 시계 방향으로 60∘60 ^\circ만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 A3,\mathrm{A} _{3} , B3,\mathrm{B} _{3} , C3,\mathrm{C} _{3} , D3,\mathrm{D} _{3} , E3,\mathrm{E} _{3} , F3\mathrm{F} _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 정육각형 AnBnCnDnEnFn{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{D}} _{n} {\mathrm{E}} _{n} {\mathrm{F}} _{n}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①7−334\displaystyle \frac{7 - 3 \sqrt{3}}{4}②7−234\displaystyle \frac{7 - 2 \sqrt{3}}{4}③9−434\displaystyle \frac{9 - 4 \sqrt{3}}{4}④9−334\displaystyle \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{4}⑤9−234\displaystyle \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4}

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④

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해설

F1\mathrm{F} _{1}이 호 OA\mathrm{OA}를 이등분하므로 OF1‾\displaystyle \overline{\mathrm{OF} _{1}}은 반지름의 길이가 11이고 중심각이 30∘30 ^\circ인 부채꼴의 현의 길이이다.

위 그림에서 OF1‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{OF} _{1}}} ^{2}=(12)2+(1−32)2\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2}=2−3\displaystyle = 2 - \sqrt{3} F1E1‾=OF1‾\displaystyle \overline{\mathrm{F} _{1} E _{1}} = \overline{\mathrm{OF} _{1}}이므로 S1=6×34×(2−3)=332(2−3)\displaystyle S _{1} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times ( 2 - \sqrt{3} ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} ( 2 - \sqrt{3} )이다. 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}에서 정육각형 A1B1C1D1E1F1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}를 만드는 과정을 반복하고 정육각형 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}와 정육각형 A1B1C1D1E1F1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}의 넓이의 비가 AF‾2:A1F1‾2=\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} ^{2} : {\overline{\mathrm{A} _{1} F _{1}}} ^{2} =1:2−3\displaystyle 1 : 2 - \sqrt{3}이므로 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 공비가 2−3\displaystyle 2 - \sqrt{3}인 등비수열이다. ∴ ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}=332(2−3)1−(2−3)\displaystyle = \frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2} ( 2 - \sqrt{3} )}{1 - ( 2 - \sqrt{3} )}=9−334\displaystyle = \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{4}

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