정육각형 벡터 합

아래 그림에서 $\vec{\mathrm{O} B} = 2 \vec{a} + \vec{b}$, $\vec{\mathrm{O} C} = 2 \vec{a} + 2 \vec{b}$이다.

점 $\mathrm{P} _{k}$는 선분 $\mathrm{B} C$를 $k : 10 - k$로 내분하는 점이므로 $\vec{\mathrm{O} P _{k}}$$\displaystyle = \frac{( 10 - k ) \vec{\mathrm{OB}} + k \vec{\mathrm{OC}}}{10 - k + k} = \frac{20 \vec{a} + ( 10 + k ) \vec{b}}{10}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{9} \vec{\mathrm{O} P _{k}} =$$\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{9} \frac{20 \vec{a} + ( 10 + k ) \vec{b}}{10}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} {2 \vec{a}} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} \vec{b} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} \frac{k}{10} \vec{b}$ $\displaystyle = 18 \vec{a} + 9 \vec{b} + \frac{9}{2} \vec{b} = 18 \vec{a} + \frac{27}{2} \vec{b}$ $\displaystyle m = 18 , n = \frac{27}{2}$이므로 $m + 2 n$$= 45$이다.