전구 켜짐 개수 합

$n$초가 될 때 켜지는 전구 개수 =$a _{n}$ $n$열 까지 모든 전구 개수 =$\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2}$ $a _{n + 1} =$(n초가 되었을 때 꺼져있는 전구 개수)$+ ( n + 1 )$ $\displaystyle = \frac{n ( n + 1 )}{2} - a _{n} + ( n + 1 )$ $\displaystyle \therefore a _{n} + a _{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} = \sum\limits _{1} ^{n + 1} k$ $a _{1} + a _{2} = 1 + 2$ $a _{3} + a _{4} = 1 + 2 + 3 + 4$ $a _{5} + a _{6} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$ $a _{7} + a _{8} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8$ $a _{9} + a _{10}$$= a _{11} + a _{12} = a _{13} + a _{14}$ $= 1 + 2 + \cdots + 10 = 55$ ∴$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{14} a _{n}$$= 3 + 10 + 21 + 36 + 55 + 55 + 55$$= 235$ [다른풀이] 1번째줄, 2번째줄에 있는 전구는 14초가 될 때까지 모두 7번씩 켜지고 전구의 개수는 3개 이므로 $3 \times 7$ 3번째 줄, 4번째 줄에 있는 전구는 모두 7개가 있고 켜지는 횟수는 모두 6번씩이므로 $7 \times 6$ 이와 같은 방법으로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{14} a _{n} = 3 \times 7 + 7 \times 6 + 11 \times 5 + 15 \times 4 + 19 \times 3$$= 235$