전구 켜기 순서쌍

$5$번째 시행 후 전구가 모두 켜져 있으려면 다섯 번의 시행에서 각 전구의 전원 버튼을 누른 횟수가 모두 홀수이어야 한다. $6$이 적힌 전구의 전원 버튼을 누르는 횟수는 주사위를 던져 $6$의 눈이 나오는 횟수와 같으므로 $6$의 눈이 나오는 횟수는 홀수이어야 한다. 또한 $6$의 눈이 나오면 $6$ 이하의 숫자가 적힌 모든 전구의 전원 버튼을 누르므로 $5$의 눈이 나오는 횟수는 $0$ 또는 짝수이어야 한다. 같은 방법으로 $4$, $3$, $2$, $1$의 눈이 나오는 각 횟수도 모두 $0$ 또는 짝수이어야 한다. (ⅰ) $6$의 눈이 나온 횟수가 $1$인 경우 (a) $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 하나의 수의 눈만 네 번 나오는 경우 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 하나의 수를 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 5$ 선택한 하나의 수를 $p$라 하면 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 $p$, $p$, $p$, $p$, $6$을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{5 !}{4 !} = 5$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $5 \times 5 = 25$ (b) $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 두 개의 수의 눈만 두 번씩 나오는 경우 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 두 개의 수를 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 10$ 선택한 두 수를 $p$, $q$라 하면 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 $p$, $p$, $q$, $q$, $6$을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{5 !}{2 ! \times 2 !} = 30$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $10 \times 30 = 300$ (a), (b)에 의하여 구하는 경우의 수는 $25 + 300 = 325$ (ⅱ) $6$의 눈이 나온 횟수가 $3$인 경우 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 하나의 수의 눈만 두 번 나와야 한다. $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 하나의 수를 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 5$ 선택한 하나의 수를 $p$라 하면 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 $p$, $p$, $6$, $6$, $6$을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{5 !}{3 ! \times 2 !} = 10$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $5 \times 10 = 50$ (ⅲ) $6$의 눈이 나온 횟수가 $5$인 경우 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$는 $\left( 6 , 6 , 6 , 6 , 6 \right)$의 $1$가지이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $325 + 50 + 1 = 376$