중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정수해를 가질 확률

문제

11에서 100100까지의 자연수 전체의 집합을 AA라 하자. AA에서 임의로 한 개의 원소 aa를 뽑을 때, xx에 대한 이차방정식 6x2−5ax+a2=06 x ^{2} - 5 a x + a ^{2} = 0이 적어도 한 개의 정수해를 가질 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 이차방정식을 활용하여 확률 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 6x2−5ax+a2=(3x−a)(2x−a)=06 x ^{2} - 5 a x + a ^{2} = ( 3 x - a ) ( 2 x - a ) = 0에서 x=a3,a2\displaystyle x = \frac{a}{3} , \frac{a}{2}이다. xx가 정수이므로 aa는 22의 배수 또는 33의 배수이어야 한다. 100100이하의 자연수 중에서 22의 배수는 5050개, 33의 배수는 3333개, 66의 배수는 1616개다. 따라서 22 또는 33의 배수의 개수는 50+33−16=6750 + 33 - 16 = 67이므로 구하는 확률은 qp=67100\displaystyle \frac{q}{p} = \frac{6 7}{1 0 0}이다. ∴p+q=167\therefore p + q = 1 6 7

태그

#확률#배수#인수분해

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